POJ 1191 棋盘分割 (记忆化搜索)

棋盘分割

 

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Description

将一个8*8的棋盘进行如下分割:将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形,再将剩下的部分继续如此分割,这样割了(n-1)次后,连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 

原棋盘上每一格有一个分值,一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘,并使各矩形棋盘总分的均方差最小。

均方差,其中平均值,xi为第i块矩形棋盘的总分。

请编程对给出的棋盘及n,求出σ的最小值。

 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数,表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

 

Output

仅一个数,为σ(四舍五入精确到小数点后三位)。

 

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

 

Sample Output

1.633

 

思路

首先对方差公式进行化简,化简之后为 σ^2=sum(xi^2)/n-xbar^2

然后使用dfs搜索时进行切割, dp[x][y][a][b][k] 代表进行 n-k 次切割以后矩阵 (x,y)-(a,b) 分值和的平方。

因为平均数是定值,要使方差最小,只能让各块的和尽可能的小。

 

AC 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<queue>
#include<map>
#define INF (1<<25)

int n,sum[10][10];
int dp[10][10][10][10][16];

int get(int x,int y,int a,int b)
{
    return sum[a][b]-sum[a][y-1]-sum[x-1][b]+sum[x-1][y-1];
}

int dfs(int x,int y,int a,int b,int k)
{
    if(dp[x][y][a][b][k]!=-1)return dp[x][y][a][b][k];  //记忆化搜索
    if(k==1)return (dp[x][y][a][b][k]=get(x,y,a,b)*get(x,y,a,b));   //返回当前块的和的平方
    int minn=INF;
    for(int i=x; i<a; i++)  //水平切割
    {
        int l=get(x,y,i,b);
        int r=get(i+1,y,a,b);
        minn=min(minn,min(dfs(x,y,i,b,k-1)+r*r,dfs(i+1,y,a,b,k-1)+l*l));
    }
    for(int i=y; i<b; i++)  //垂直切割
    {
        int l=get(x,y,a,i);
        int r=get(x,i+1,a,b);
        minn=min(minn,min(dfs(x,y,a,i,k-1)+r*r,dfs(x,i+1,a,b,k-1)+l*l));
    }
    return (dp[x][y][a][b][k]=minn);
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        int temp;
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=8; i++)
            for(int j=1; j<=8; j++)
            {
                scanf("%d",&temp);
                sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+temp;   //从(1,1)到(i,j)区域和
            }
        double avi=sum[8][8]*1.0/n;
        printf("%.3f\n",sqrt(dfs(1,1,8,8,n)*1.0/n-avi*avi));
    }
    return 0;
}