棋盘分割
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Description
将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)
原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差
，其中平均值
，xi为第i块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及n，求出σ的最小值。
Input
第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。
Output
仅一个数，为σ（四舍五入精确到小数点后三位）。
Sample Input
3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3
Sample Output
1.633
思路
首先对方差公式进行化简，化简之后为 σ^2=sum(xi^2)/n-xbar^2
然后使用dfs搜索时进行切割， dp[x][y][a][b][k] 代表进行 n-k 次切割以后矩阵 (x,y)-(a,b) 分值和的平方。
因为平均数是定值，要使方差最小，只能让各块的和尽可能的小。
AC 代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<queue>
#include<map>
#define INF (1<<25)
int n,sum[10][10];
int dp[10][10][10][10][16];
int get(int x,int y,int a,int b)
{
return sum[a][b]-sum[a][y-1]-sum[x-1][b]+sum[x-1][y-1];
}
int dfs(int x,int y,int a,int b,int k)
{
if(dp[x][y][a][b][k]!=-1)return dp[x][y][a][b][k]; //记忆化搜索
if(k==1)return (dp[x][y][a][b][k]=get(x,y,a,b)*get(x,y,a,b)); //返回当前块的和的平方
int minn=INF;
for(int i=x; i<a; i++) //水平切割
{
int l=get(x,y,i,b);
int r=get(i+1,y,a,b);
minn=min(minn,min(dfs(x,y,i,b,k-1)+r*r,dfs(i+1,y,a,b,k-1)+l*l));
}
for(int i=y; i<b; i++) //垂直切割
{
int l=get(x,y,a,i);
int r=get(x,i+1,a,b);
minn=min(minn,min(dfs(x,y,a,i,k-1)+r*r,dfs(x,i+1,a,b,k-1)+l*l));
}
return (dp[x][y][a][b][k]=minn);
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
int temp;
memset(sum,0,sizeof(sum));
memset(dp,-1,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=8; i++)
for(int j=1; j<=8; j++)
{
scanf("%d",&temp);
sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+temp; //从(1,1)到(i,j)区域和
}
double avi=sum[8][8]*1.0/n;
printf("%.3f\n",sqrt(dfs(1,1,8,8,n)*1.0/n-avi*avi));
}
return 0;
}
