HDU 6146 Pokémon GO (dp)

Description

众所周知,度度熊最近沉迷于 Pokémon GO。

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今天它决定要抓住所有的精灵球!

为了不让度度熊失望,精灵球已经被事先放置在一个2*N的格子上,每一个格子上都有一个精灵球。度度熊可以选择任意一个格子开始游戏,抓捕格子上的精灵球,然后移动到一个相邻的至少有一个公共点的格子上继续抓捕。例如,(2, 2) 的相邻格子有(1, 1), (2, 1) 和 (1, 2) 等等。

现在度度熊希望知道将所有精灵球都抓到并且步数最少的方案数目。两个方案被认为是不同,当且仅当两个方案至少有一步所在的格子是不同的。

 

Input

第一行为T,表示输入数据组数。

每组数据包含一个数N。

1≤T≤100

1≤N≤10000

 

Output

对每组数据输出方案数目,结果对 1 000 000 007 取模。

 

Sample Input

3
1
2
3

 

Sample Output

2
24
96

 

思路

显然,步数最少的方案当然是所有格子只访问一遍咯!

我们设 $B_n$ 代表从某个角出发,然后走遍所有格子回到同一列的方案数目。

显然:

$B_1=1$

$B_n=2\times B_{n-1}=2^{n-1}$

同样,我们设 $A_n$ 代表从某个角出发,然后走遍所有格子的方案数。

则 $A_n=B_n+2 \times A_{n-1}+4 \times A_{n-2}$

其中 $B_n$ 代表回到了当前列的方案数, $A_{n-1}$ 代表先填满当前列然后走到相邻的列处理同样的一个子问题, $A_{n-2}$ 代表通过对角线方式先走完当前列与相邻列的格子,然后剩下的 $n-2$ 列即相同子问题。

因为有四个角,所以我们的结果要乘以 $4$ ,即 $4 \times A_n$ 。

当然,真实情况下我们不一定是从四个角出发的,还有另一种情况就是中间的列咯。

考虑中间的第 $i$ 列

我们可以先从第 $i$ 列往左走完所有的格子回来,然后再往右走完所有的格子;

也可以先往右走完所有的格子回来,再往左走完所有的格子。

于是总的方案数即 $2 \times(4\times B_{i-1}\times A_{n-i}+4 \times B_{n-i}\times A_{i-1})$ ,其中 $2$ 代表第 $i$ 列有两个格子可选为初始点, $4$ 代表分别向左右两边行走时的选择方案数 $2 \times 2$ 。

 

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int maxn =1e5+10;
const int mod = 1e9+7;

LL a[maxn],b[maxn];

void init()
{
    b[1]=1;
    for (int i=2; i<maxn; i++)
        b[i]=(b[i-1]*2%mod);
    a[1]=1;
    a[2]=6;
    for (int i=3; i<maxn; i++)
        a[i]=(2*a[i-1]+b[i]+4*a[i-2])%mod;
}

int main()
{
    init();
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n;
        cin>>n;
        if(n==1)
        {
            cout<<2<<endl;
            continue;
        }
        LL sum=4*a[n];
        for (int i=2; i<n; i++)
            sum=(((8*b[n-i]*a[i-1])%mod+(8*a[n-i]*b[i-1])%mod)%mod+sum)%mod;
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}