HDU 2089 不要62 (数位dp)

Description

杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62(音:laoer)。

杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照,新近出来一个好消息,以后上牌照,不再含有不吉利的数字了,这样一来,就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍,更安全地服务大众。

不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如:

62315 73418 88914

都属于不吉利号码。但是,61152虽然含有6和2,但不是62连号,所以不属于不吉利数字之列。

你的任务是,对于每次给出的一个牌照区间号,推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

 

Input

输入的都是整数对n、m(0<n≤m<1000000),如果遇到都是0的整数对,则输入结束。

 

Output

对于每个整数对,输出一个不含有不吉利数字的统计个数,该数值占一行位置。

 

Sample Input

1 100
0 0

 

Sample Output

80

 

思路

数位 dp ,我们设 $dp[i][j]$ 代表有 $i$ 位数,且首位为 $j$ 满足题意的数字个数。

很容易得出状态转移方程:

$$
dp[i][j]=\sum_{k=0}^{9}dp[i-1][k],(k!=2||j!=6)
$$

对于一个数字 $3625$ ,我们可以看出它总共有 $4$ 位,于是其结果必然包含 $dp[4][0..2]$

注意:在 $dp[i][j]$ 中我们允许长度为 $i$ 的数字有前导零,也就是说 $dp[5][0]$ 包含了所有四位及以下符合要求的数字。

那么仍然是之前的那个数字 $3625$ ,我们如何计算首位为 $3$ 的情况呢?

显然,它相当于我们选定了首位 $3$ 这个数字,然后对剩余位进行同样的操作,则结果会包含 $dp[3][0..5],dp[2][0..1]$

当且仅当遍历时遇到 $4$ 或者 $62$ 时跳出,因为这样的情况相当于我们已经确定了前缀 $362$ ,不论后面怎么选都是不符合题意的。

我们发现,每一位的判断范围是 $[0,num_i)$ ,那么对于个位显然会少计算一位,于是我们考虑给所求数字 +1 来弥补这一位的损失。

另外,对于这道问题我们可以利用区间减法来完成,即 $[0,m]-[0,n)$ 。

 

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int64 LL;

LL dp[10][10];
int num[10];
void init()
{
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1; i<=7; i++)
        for(int j=0; j<10; j++)
            for(int k=0; k<10; k++)
                if(j!=4&&!(j==6&&k==2))
                    dp[i][j]+=dp[i-1][k];
}

int solve(int x)
{
    LL ans=0,tot=0;
    memset(num,0,sizeof(num));
    while(x)
    {
        num[++tot]=x%10;
        x/=10;
    }
    for(int i=tot; i>0; i--)
    {
        for(int j=0; j<num[i]; j++)
            if(j!=4&&!(num[i+1]==6&&j==2))
                ans+=dp[i][j];
        if(num[i]==4||(num[i]==2&&num[i+1]==6))
            break;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n,m;
    init();
    while(cin>>n>>m&&(n||m))
        cout<<solve(m+1)-solve(n)<<endl;
    return 0;
}