51nod 1256 乘法逆元

描述

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K × M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Input示例

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Output示例

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思路

在欧几里得(GCD)算法中，我们可以求得两个数的最大公因数，也就是辗转相除法啦！

而在扩展欧几里得算法中有说明，对于不完全为 0 的非负整数 a ， b ， gcd(a，b) 表示 a ， b 的最大公约数，必然存在无数组整数对 x ， y ，使得 $\gcd(a,b)=ax+by$ 。

对于 $K×M\%N=1$ , 其实这个式子是可以化为 $K × M – T × N = 1$ ；

这就和 $a × x + b × y + c = 0$ 一样的， 又因题目讲明 $\gcd(M,N) = 1$ ；

所以可以直接上扩展欧几里得了， 得出的 K 可能是负数， 要注意处理一下。

AC 代码

#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)    //扩展GCD
{
    if(n==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return m;
    }
    int r=exgcd(n,m%n,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(m/n)*y;
    return r;
}
int main()
{
    int n,m,x,y;
    cin>>m>>n;
    exgcd(m,n,x,y);
    cout<<(x%n+n)%n<<endl;  //处理负数
    return 0;
}